Non-formal mechanisms in mathematical cognitive development: The case of arithmetic
D.W. Braithwaite, R.L. Goldstone, H.L.J. van der Maas, & D.H. Landy (2016)

Vindt de ontwikkeling van rekenvaardigheid middels een plotselinge verschuiving richting abstract denken plaats of als een geleidelijke toename in vaardigheid met leeftijd? Om dit te achterhalen keken onderzoekers naar de anonieme data van ruim 50.000 Nederlandse kinderen die in Rekentuin de samengestelde sommen oefenen in het spel Rekenvolgorde. Samengestelde sommen zijn sommen met meerdere bewerkingen, zoals 2 + 5 x 4. De regels die kinderen gebruikten bij het oplossen van deze sommen gaf de onderzoekers meer informatie over de rekenontwikkeling.

Gebruikte rekenregels geven inzicht in rekenontwikkeling

Het gebruik van rekenregels bij samengestelde sommen geeft antwoord op de vraag of de rekenontwikkeling middels een verschuiving of als een geleidelijke toename plaatsvindt. Zo verwachten onderzoeker dat wanneer er sprake zou zijn van een verschuiving naar abstract denken, dit te zien zal zijn aan het gebruik van de formele rekenregels. Dit zijn regels zoals de voorrangsregels voor rekenkundige bewerkingen (haakjes, machten, vermenigvuldiging, optellen etc.) (Jansen, Marriott, & Yelland, 2003; Schneider, Maruyama, Dehaene, & Sigman, 2012).

Als verbeterde rekenvaardigheid niet door een verschuiving naar abstract denken wordt veroorzaakt, maar geleidelijk toeneemt met tijd en ervaring, zal je dit zien aan het toegenomen (onjuist) gebruik van niet-formele regels in plaats van van formele regels om de rekenvolgorde te bepalen. Er zijn twee niet-formele regels. Ten eerste kan iemand kijken welke delen van de som fysiek dichtbij elkaar staan, om vervolgens dat deel eerst op te lossen (Jansen, et al., 2003; Schneider, et al., 2012). Ten tweede kan iemand besluiten het gemakkelijkste deel van de som eerst op te lossen (Linchevski and Livneh 1999; Herscovics & Linchevski, 1994).

Kinderen in de hogere groepen gebruikten vaker niet-formele rekenregels
Het onderzoek toont aan dat niet-formele regels worden gebruikt bij het bepalen van de rekenvolgorde van samengestelde sommen. Een kleinere afstand tussen de bewerking en getallen van een deel van de som zorgde ervoor dat dit deel vaker eerst werd opgelost. Daarnaast bleken gemakkelijke delen van de sommen regelmatig eerst gemaakt te worden. Deze niet-formele regels werden ook gebruikt wanneer dit tegen de formele rekenregels voor rekenvolgorde inging.

Het (onterecht) gebruik van deze niet-formele regels wordt vooral gezien bij kinderen in hogere groepen. Dit suggereert dat het gebruik toeneemt met leeftijd en ervaring. Gevorderde rekenvaardigheid is dus niet enkel gebaseerd op het volgen van rekenregels, maar ook op het zo snel en efficiënt mogelijk oplossen van de som. Iemand zou dan de keuze maken om een simpele deelsom eerst op te lossen in plaats van formele rekenregels te volgen omdat hij/zij denk dat dit sneller zal gaan.

De ontwikkeling van rekenvaardigheid lijkt geleidelijk toe te nemen met leeftijd
En wat betekent deze toename van niet-formele regels met leeftijd en ervaring? Dat het bepalen van de rekenvolgorde in bijvoorbeeld het rekenvolgordespel in Rekentuin niet altijd beter en consistenter gebeurt. Ervaring leidt ook tot het minder streng volgen van formele rekenregels wat soms leidt tot een fout antwoord. Deze bevinding met behulp van data uit Rekentuin toont een geleidelijke toename in de ontwikkeling van rekenvaardigheid aan.

Literatuur

Bulloch, M. J., & Opfer, J. E. (2009). What makes relational reasoning smart? Revisiting the perceptual-to-relational shift in the development of generalization. Developmental Science, 12(1), 114–122.

Brissiaud, R., & Sander, E. (2010). Arithmetic word problem solving: A situation strategy first framework. Developmental Science, 13(1), 92–107.

Gentner, D. (1988). Metaphor as structure mapping: The relational shift. Child Development, 59, 47–59.

Gentner, D. (2003). Why we’re so smart. In D. Gentner & S. Goldin-Meadow (Eds.) Language in mind: Advances in the study of language and thought (pp. 195–235). Cambridge, MA: MIT Press.

Gentner, D., & Toupin, C. (1986). Systematicity and surface similarity in the development of analogy. Cognitive Science, 10(3), 277–300.

Herscovics, N., & Linchevski, L. (1994). A cognitive gap between arithmetic and algebra. Educational Studies in Mathematics, 27, 59–78.

Jansen, A. R., Marriott, K., & Yelland, G. W. (2003). Comprehension of algebraic expressions by experienced users of mathematics. The Quarterly Journal of Experimental Psychology, 56A(1), 3–30.

Keil, F. C. (1989). Concepts, kinds, and conceptual development. Cambridge, MA: MIT Press.

Keil, F. C., & Batterman, N. (1984). A characteristic-to-defining shift in the development of word meaning. Journal of Verbal Learning and Verbal Behavior, 23(2), 221–236.

Keil, F. C., Smith, W. C., Simons, D. J., & Levin, D. T. (1998). Two dogmas of conceptual empiricism: Implications for hybrid models of the structure of knowledge. Cognition, 65(2–3), 103–135.

Linchevski, L., & Livneh, D. (1999). Structure sense: The relationship between algebraic and numerical contexts. Educational Studies in Mathematics, 40, 173–196.

Miller, K., Perlmutter, M., & Keating, D. (1984). Cognitive arithmetic: Comparison of operations. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 10(1), 46–60.

Moore, A. M., & Ashcraft, M. H. (2015). Children’s mathematical performance: Five cognitive tasks across five grades. Journal of Experimental Child Psychology, 135, 1–24.

Piaget, J. (1952). The origins of intelligence in children. New York, NY: WW Norton & Co.

Rattermann, M. J., & Gentner, D. (1998). More evidence for a relational shift in the development of analogy: Children’s performance on a causal-mapping task. 54 D.W. Braithwaite et al. Cognition 149 (2016) 40–55 Cognitive Development, 13(4), 453–478 MIT Press.

Schneider, E., Maruyama, M., Dehaene, S., & Sigman, M. (2012). Eye gaze reveals a fast, parallel extraction of the syntax of arithmetic formulas. Cognition, 125(3), 475–490.

Shrager, J., & Siegler, R. S. (1998). SCADS: A model of children’s strategy choices and strategy discoveries. Psychological Science, 9(5), 405–410.

Siegler, R. S., & Stern, E. (1998). Conscious and unconscious strategy discoveries: A microgenetic analysis. Journal of Experimental Psychology: General, 127(4), 377–397. Vygotsky, L. S. (1962). Thought and language. Cambridge, MA: MIT Press.